Assalamu'alaikum 

akhi ukhti mari kita belajar bersama

Persamaan linear

Persamaan linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam Sistem koordinat Kartesius.

Contoh grafik dari suatu persamaan linear dengan nilai m=0,5 dan b=2 (garis merah)

Bentuk umum untuk persamaan linear adalah

Dalam hal ini, konstanta m akan menggambarkan gradien garis, dan konstanta b merupakan titik potong garis dengan sumbu-y. Persamaan lain, seperti x³, y^1/2, dan bukanlah persamaan linear.

Contoh

Contoh sistem persamaan linear dua variabel:

,

,

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear yang rumit, seperti di sebut di atas, bisa ditulis dengan menggunakan hukum aljabar agar menjadi bentuk yang lebih sederhana. Seperti contoh, huruf besar di persamaan merupakan konstanta, dan x dan y adalah variabelnya.

Bentuk Umum

dimana konstanta A dan B bila dijumlahkan, hasilnya bukan angka nol. Konstanta dituliskan sebagai A ≥ 0, seperti yang telah disepakati ahli matematika bahwa konstanta tidak boleh sama dengan nol. Grafik persamaan ini bila digambarkan, akan menghasilkan sebuah garis lurus dan setiap garis dituliskan dalam sebuah persamaan seperti yang tertera diatas. Bila A ≥ 0, dan x sebagai titik potong, maka titik koordinat-xadalah ketika garis bersilangan dengan sumbu-x (y = 0) yang digambarkan dengan rumus -c/a. Bila B≥ 0, dan y sebagai titik potong, maka titik koordinat- y adalah ketika garis bersilangan dengan sumbu-y (x = 0), yang digambarkan dengan rumus -c/b.

Bentuk standar

di mana, a dan b jika dijumlahkan, tidak menghasilkan angka nol dan a bukanlah angka negatif. Bentuk standar ini dapat diubah ke bentuk umum, tapi tidak bisa diubah ke semua bentuk, apabila a dan b adalah nol.

Bentuk titik potong gradien

Sumbu-y

dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan titik koordinat y adalah persilangan dari sumbu-y. Ini dapat digambarkan dengan x = 0, yang memberikan nilai y = b. Persamaan ini digunakan untuk mencari sumbu-y, dimana telah diketahui nilai dari x. Y dalam rumus tersebut merupakan koordinat y yang anda taruh di grafik. Sedangkan X merupakan koordinat x yang anda taruh di grafik.

Sumbu-x

dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan c adalah titik potong-x, dan titik koordinat x adalah persilangan dari sumbu-x. Ini dapat digambarkan dengan y = 0, yang memberikan nilai x = c. Bentuk y/m dalam persamaan sendiri berarti bahwa membalikkan gradien dan mengalikannya dengan y. Persamaan ini tidak mencari titik koordinat x, dimana nilai y sudah diberikan.

Sistem persamaan linear lebih dari dua variabel

Sebuah persamaan linear bisa mempunyai lebih dari dua variabel, seperti berikut ini:

di mana dalam bentuk ini, digambarkan bahwa a₁ adalah koefisien untuk variabel pertama, x₁, dan n merupakan jumlah variabel total, serta b adalah konstanta.
Berikut Contoh Soalnya..:
 SOAL NO.1
  Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut:
   2x + 3y = 1     
   3x + y   = 5 
Penyelesaian:
A.cara eleminasi dan subtitusi
    eleminasi X
   2x + 3y = 1      |X 3 |     6x  +  9y  =  3
   3x + y   = 5      |X 2 |     6x  +  2y  = 10
                                        ____________   _
                                                  7y  =  -7
                                                    y  =  -7 / 7
                                                    y  = -1

     subtitusi y
     kesalah satu persamaan (cari yang paling cepat/sederhana)
     3x + y = 5
     3x - 1 = 5
          3x = 5 + 1
            x = 6/3
            x = 2 

 Maka Hp-nya adalah (x,y) = (-1,2)

B.penyelesaian dengan cara matriks
  
   2x + 3y = 1     
   3x + y   = 5
ubah kebentuk persamaan matriks

 

masukkan persamaan ke dalam rumus  

  
maka HP-nya sama dengan cara A yakni (x,y)=(2,-1)





SOAL NO.2
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut:
3x  +  y  =  7
5x  + 2y = 12

penyelesaian
A.cara eleminasi dan subtitusi
 eleminasi y
3x  +  y  =  7          |X 2|     6x  +  2y  =  14
5x  + 2y = 12         |X 1|     5x  +  2y  =  12
                                          __________   _
                                                       x  =  2

 subtitusi x
  ingat! usahakan selalu cari yang termudah untuk dikalikan dan lebih cepat diproses
 3(2)  +  y  =  7
    6   +  y  =  7
              y =  7 - 6
              y = 1    

Maka HP dari persamaan diatas adalah (x,y) = (2,1)

B.penyelesaian dengan cara matriks

3x  +  y  =  7
5x  + 2y = 12
ubah ke persamaan matriks

 masukkan persamaan ke dalam rumus  

 Maka HP dari persamaan tersebut adalah (x,y) = (2,1)





SOAL NO.3 (cara subtitusi)

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut:
3x + 2y = -2  
 x – 2y = 10 .

Penyelesaian :

Cara Subtitusi

x – 2y    = 10      <<=>>     x = 2y + 10

3x + 2y = -2

Subsitusikan persamaan (1) ke (2)

3x + 2y  = -2

3( 2y + 10 )  + 2y  = -2

       6y + 30 + 2y  = - 2

                        8y  = -32

                         y   = - 4        

Subsitusikan nilai y = -4 ke persamaan (1)

x  =  2y + 10

x  =  2(-4)  + 10

x =  -8 + 10

x =  2

maka HP dari persamaan diatas adalah (x,y) = ( 2, -4 ).





SOAL NO.4 (cara eleminasi)

Jika  2x + 5y = 11  dan 4x – 3y = -17,

tentukanlah nilai dari  2x – y = . . . .

Penyelesaian:

A.cara eleminasi

Eliminasi x

2x + 5y   = 11      |X 2|   4x  + 10y  = 22

4x  - 3y   = -17    |X 1|   4x  –  3y   = -17 

                                      __________  _                                               
                                             13y  = 39

                                                y  = 39 / 13
                                                y  = 3

Eliminasi y

2x + 5y   = 11       |X 3|  6x  + 15y = 33

4x  - 3y   = -17     |X 5|  20x - 15y = -85  
                                       ___________+

                                               26x  = -52
                                                   x  = -52 /26

                                                   x  = -2

setelah nilai variabel ditemukan subtitusilah ke pers yang ditanya:
Nilai : 2x – y = ..
        2(-2) – 3 = - 7

Terima Kasih semoga bermanfaat..^ ^

                                                         

 

Read More

ASSALAMU'ALAIKUM akhi ukhti 
SELAMAT DATANG DI BLOG SAYA....

Gelombang

PENGERTIAN GELOMBANG

Gelombang adalah getaran yang merambat melalui suatu medium. Gelombang dapat juga diartikan sebagai perpindahan energi melalui suatu medium.
Gelombang dapat dibedakan menjadi
1. Gelombang Mekanik
a. Gelombang Transversal Lihat animasi gelombang transversal
b. Gelombang Longitudinal Lihat animasi gelombang Longitudinal
2. Gelombang Elektromagnetik
Persamaan gelombang secara sederhna dapat dituliskan sbb :

y = A Sin ω.t

Persamaan gelombang berjalan dapat dinyatakan dengan :


y = A sin (ω.t – ωx/v ) atau
y = A sin (ω.t – k.x)

Catatan :
ω = 2πf = 2π/T
k = 2π/λ = ωx/v

Keterangan : y = Simpanagan gelombang ................................ (meter)
A = Amplitudo gelombang ................................. (meter)
ω = kelajuan sudut........................... (rad/s)
t = Lamanya waktu............................. (sekon)
k = Bilangan gelombang ....................... (- )
x = Jarak titik ke sumber gelombang .......... (meter)
f = Frekwensi gelombang ...................... (Hz)
T = Periode gelombang ........................ (sekon)
λ = Panjang gelombang ........................ (meter)


Contoh 1 :
Sebuah gelombang memiliki persamaan y = 10 Sin 100πt, y dalam cm dan t dalam sekon. Berapakah besarnya simpangan gelombang diatas saat t = 0,002 sekon ?
Diketahui : y = 10 sin 100πt
Ditanya : y = ........ ? t = 0,002 sekon
y = 10 Sin 100πt
y = 10 Sin 100π(0,002)
y = 10 Sin 0,2π
y = 10 . 0,59
y = 5,9 cm

Fase (φ) dan beda Gelombang (Δφ)

Fase gelombang diartikan sebagai hasil perbandingan antara lamanya waktu dengan periode gelombang tersebut.
Besar fase gelombang dapat dihitung dengan rumus :
φ = (t/T - x/λ )
Beda fase atau selisih fase dapat dihitung dengan :

Δφ ¬= φ1 – φ0

Contoh 2 :
Persamaan gelombang berjalan dinyatakan dengan y = 0,2 Sin (120πt – 2,4πx), y dalam meter dan t dalam sekon. Hitunglah :
a. Kecepatan dan panjang gelombangnya !
b. Selisih fase di titik yang berjarak 40 cm saat t = 0,02 sekon
Diketahui : y = 0,2 Sin (120πt – 2,4πx)
Diatanya : a. v = ........... ? dan λ ........... ?
b. Δφ ....... ?
a. v = ω/k λ = 2π/k
v = 120π/2,4π λ = 2π/2,4π
v = 50 m.s-1 λ = 0,83 meter
b. Δφ ¬= φ1 – φ0
Δφ ¬= ( - ) – ( - )

Gelombang Stasioner (Gelombang diam)
Gelombang Stasioner dihasilkan dari perpaduan antara dua gelombang yaitu gelombang yang datang dengan gelombang pantul.
a. Gelombang Stasioner Ujung bebas

y = 2A Cos (kx) sin (ω.t)

b. Gelombang Stasioner Ujung terikat

y = 2A Sin (kx) Cos(ω.t)

OK berikut materi tentang gelombang semoga bermanfaat

Read More